En asymptote er en linje som en kurve eller funksjon beveger seg mot, men aldri berører eller krysser. Det finnes flere typer asymptoter, f.eks. horisontal og vertikal asymptote. Denne artikkelen vil dykke ned i disse konseptene med eksempler og forklaringer.
Hva er en asymptote?
Asymptoter oppstår som regel i rasjonale funksjoner. En generell rasjonell funksjon ser slik ut:
Hvis h(a) = 0 vil det kunne eksistere en asymptote for x = a.
Vi opplever bare asymptoter hvis det ikke eksisterer noen grenseverdi for x = a.
Vertikal asymptote
Vi vil oppleve en vertikal asymptote når nevneren går mot 0, altså når h(x) nærmer seg 0 i verdi. Grunnen til at denne asymptoten oppstår er fordi vi ikke kan dele en brøk på 0. La oss undersøke et eksempel:
Vi ser at hvis x = 5 så vil vi få 0 i nevneren. Dette innebærer at vi har en vertikal asymptote for x = 5. Her kan vi se en grafisk representasjon:
Her vil funksjonen f(x) aldri krysse eller berøre x = 5. Funksjonen går mot – ∞ og ∞ når x→5.
Horisontal asymptote
En horisontal asymptote opplever vi når x→∞. Funksjonen vil da ikke kunne krysse eller berøre denne asymptoten heller. Vi finner denne asymptoten ved å ta
f(x) = b. Her vil y = b være asymptote linjen vår. La oss undersøke dette med et eksempel:
Den horisontale asymptoten finner vi ved å ta:
Nå kommer et viktig steg som er spesielt for horisontale asymptoter. Dette er nemlig å identifisere den «dominerende» x potensen. Den «dominerende» x potensen vil være den x-en som har høyest potens eller grad. Vi har tre x potenser her. Nemlig 2x, x og x2. Vi ser da at x2 har høyest potens, og vil da bli den «dominerende» x potensen.
Når denne er funnet så skal vi dele alle leddene i funksjonen med den «dominerende» x potensen. Slik ser det ut:
Hva skjer nå, når x = ∞?
Når man deler noe på ∞ kan vi si det er tilnærmet lik 0 og vi får at f(∞)=0. Dette blir funksjonens horisontale asymptote. Slik ser den asymptoten ut:
Hvis funksjonen har den dominerende x potensen i teller, vil vi ikke få noen horisontal asymptote.
Hvis en funksjon har dominerende x-potenser av samme grad, vil asymptoten være forholdet mellom koeffisientene foran disse x-potensene. F.eks.
For et dypere dykk inn i asymptoter og grenseverdier, kan du finne lærerike eksamenskurs i R1 utviklet av toppstudenter nedenfor!
