I dette innlegget skal vi introdusere grenseverdier som er et fundamentalt konsept i matematikk. Grenseverdier brukes til å beskrive hvordan en funksjon oppfører seg eller ser ut når x verdiene går mot gitte punkter. Å forstå grenseverdier er essensielt for å lære seg derivasjon og funksjonsdrøfting. Grenseverdier danner altså et viktig grunnlag for å lære seg andre aspekter av matematikken.

Hvordan ser grenseverdier ut?

Når vi skal ta grenseverdien av en funksjon ser det slik ut f(x) , hvor

  • f(x) er formelen vi undersøker
  • x er den uavhengige variabelen i funksjonen f(x). Dette er verdien som kan endres og som vi undersøker grenseverdien for.
  • a er den verdien som x nærmer seg. Vi undersøker hva som skjer med f(x) når x blir veldig nær denne verdien.
  • “lim” står for “limit” eller “grenseverdi” på norsk. Dette betegner prosessen der vi ser på oppførselen til en funksjon f(x) når x nærmer seg en bestemt verdi a.

Når vi ser på f(x) , er vi interessert i å finne ut hva verdien av funksjonen f(x) nærmer seg når x nærmer seg a. Dette gir oss en forståelse av funksjonens oppførsel i nærheten av punktet x=a.

Dette forklarer vi enda mer om her!

Eksempel på hvordan man beregner grenseverdier

La oss bruke funksjonen f(x)=x2+2x+3 som eksempel.

Vi skal finne denne grenseverdien f(x) . Vi setter da inn 2 for x i funksjonen og får:

f(x) =22+2∙2+3=11

Svaret er da at når x går mot 2, så går funksjonsverdien f(x) mot 11. Det er viktig å merke seg at x går mot 2 ikke til 2 og f(x) går mot 11 ikke til 11.

Grenseverdier ovenfra og nedenfra

Noen ganger er det nødvendig å vurdere grenseverdier fra bare én side, enten fra ovenfra (høyre side) eller nedenfra (venstre side). Måten vi skiller oven- og nedenfra er med at ovenfra så har vi det plusstegn over tallet x går mot og for nedenfra har du et minustegn over tallet x går mot. Her ser du et eksempel:

vurdering av grenseverdier fra ovenfra og nedenfra side

Som du ser på tallinjen, når x går mot 0 nedenfra går x fra verdier som er lavere enn 0 mot 0. Og når x går mot 0 ovenfra så går x fra verdier som er større enn 0 mot 0. 

Tallinje

Her ser du hva som skjer med funksjonen når x går mot null nedenfra.

x-1-0,1-0,01-0,001-0,0001
f(x)-1-10-100-1000-10 000

Og her ser du hva som skjer med funksjonen når x går mot null ovenfra.

x0,0001-0,0010,010,11
f(x)10 0001000100101

Vi ser da at når x går mot null nedefra så går verdien av funksjonen mot -∞ og når x går mot null ovenfra går funksjonen mot .

For å lære mer om grenseverdier og funksjoner, kan du finne lærerike eksamenskurs i S1 utviklet av toppstudenter nedenfor!