Tangens er et sentralt begrep i geometri og trigonometri, og brukes særlig når vi jobber med rettvinklede trekanter. I denne artikkelen skal vi se nærmere på hva tangens betyr, hvordan du bruker det, og hva som skiller tangens fra tangens invers.
Hva er tangens?
Tangens beskriver forholdet mellom to sider i en rettvinklet trekant – den motstående kateten og den hosliggende kateten.
Formelen for tangens ser slik ut:
\tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}
Her står v for vinkelen vi ser på.
Tangens av en vinkel forteller altså hvor mye lengre (eller kortere) den motstående kateten er sammenlignet med den hosliggende. Når du trykker på tan-knappen på kalkulatoren, får du nettopp dette forholdstallet.
Et lite begrepsoppsett
Illustrasjon av trekant med con/sin/tan
For å forstå formelen, må vi vite hva de tre sidene i en rettvinklet trekant heter:
- Hosliggende katet: siden som ligger inntil vinkelen, men som ikke er hypotenusen.
- Hypotenusen: den lengste siden, som ligger rett overfor den rette vinkelen (90°).
- Motstående katet: siden som ligger rett ovenfor vinkelen du ser på.
Når bruker vi tangens?
Vi bruker tangens når vi:
- Kjenner én vinkel (bortsett fra den rette vinkelen)
- Og én av de to katetene
Da kan vi finne lengden på den andre kateten.
Tangens lar oss altså finne en ukjent side i en rettvinklet trekant, så lenge vi har nok informasjon til å bruke formelen.
Eksempeloppgave med tangens
La oss se på et eksempel:
Vi har en rettvinklet trekant der vinkelen v = 30∘, og den hosliggende kateten er 5 cm. Vi vil finne lengden på den motstående kateten.
Vi starter med formelen:
\tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}
Setter inn det vi vet:
\tan(30^\circ) = \frac{\text{motstående katet}}{5}
For å finne den motstående kateten, ganger vi begge sider med 5:
\text{Motstående} = \tan(30^\circ) \cdot 5Når vi regner ut tan på kalkulatoren og ganger med 5, får vi:
\text{Motstående} \approx 2{,}9 \,\text{cm}Svar: Den motstående kateten er omtrent 2,9 cm lang.
Tangens invers – når du skal finne vinkelen
Noen ganger kjenner vi begge katetene, men mangler vinkelen.
Da bruker vi tangens invers, som skrives slik:
v = \tan^{-1}\!\left(\frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}\right)
Forskjellen er:
- Tangens invers: Du kjenner to sider og vil finne vinkelen.
- Tangens: Du kjenner vinkelen og vil finne en side.
Eksempeloppgave med tangens invers
Eksempel:
I en rettvinklet trekant er motstående katet 4 cm og hosliggende katet = 7 cm
Finn vinkelen v.
Vi bruker formelen:
v = \tan^{-1}\!\left(\frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}\right)
Setter inn verdiene:
v = \tan^{-1}\!\left(\frac{4}{7}\right)
Vi regner ut brøken, altså forholdet mellom katene:
\frac{4}{7} \approx 0{,}571
Vi setter forholdet inn i ligningen:
v = \tan^{-1}(0{,}571)
Finner vinkelen med kalkulatoren:
v = 29{,}8^\circ
Hvis du nå sjekker kalkulatoren med vanlig tangens:
\tan(29{,}8^\circ) = 0{,}571
Det stemmer nøyaktig med forholdet vi startet med – derfor vet du at svaret er riktig
Svar: Vinkelen v er omtrent 29,8 grader.
Resultatet
GeoGebra lager automatisk en modell som passer datasettet.
Programmet viser funksjonen:
y = 8000 \cdot 0{,}8409{x}
Denne funksjonen er praktisk talt identisk med funksjonen vi fikk i oppgaven, nemlig
H(x) = 8000 \cdot 0{,}84{x}
Forskjellen skyldes kun avrunding i GeoGebra (0,8409 ≈ 0,84).
Konklusjon
GeoGebra bekrefter at modellen
H(x) = 8000 \cdot 0{,}84{x}
passer godt til informasjonen vi har fått.
Funksjonen beskriver derfor nøyaktig den eksponentielle nedgangen i hjortebestanden som oppgaven handler om.
Avslutning
Tangens er et enkelt, men svært nyttig verktøy i geometri og trigonometri. Når du forstår hva de ulike sidene i en rettvinklet trekant heter, og hvordan de henger sammen, kan du bruke både tangens og tangens invers til å løse mange typer oppgaver.
Du kan finne både ukjente sider og vinkler – så lenge du har nok informasjon til å bruke formelen riktig.
Ved å øve på noen enkle oppgaver vil du raskt se hvordan tangens gjør det lettere å forstå sammenhengen mellom vinkler og sider i en trekant. Etter hvert blir det et naturlig og effektivt verktøy å bruke i all videre arbeid med trigonometri.
Vi har også flere andre artikler hvor du kan lære om sentrale temaer innenfor faget Matematikk 1T.
Vil du lære mer om Tangens og Matematikk 1T?
Dette var bare en introduksjon til tangens. I vårt digitale undervisningsopplegg finner du komplette videoleksjoner, forklaringer og oppgaver som hjelper deg å forstå hele pensum. Du kan prøve faget gratis og se selv hvordan vi gjør Matematikk 1T enklere og mer oversiktlig.
Ønsker du å lære mer? Sjekk ut våre fag og undervisning i Matematikk 1T!
MAT1021
Matematikk 1T – VGS
MAT1021
Matematikk 1T – Privatist
