Eksponentialfunksjoner brukes til å beskrive situasjoner der noe øker eller minker med en fast prosentvis endring over tid. Det kan være penger på en konto, bakterier som formerer seg, eller dyrebestander som reduseres.
Hva er en eksponentialfunksjon?
Slike funksjoner har formen:
f(x) = a \cdot k{x}
der a er startverdien og k er vekstfaktoren. Hvis k > 1, vokser størrelsen – hvis k < 1, minker den.
I denne teksten skal vi se hvordan dette fungerer i praksis, gjennom et konkret eksempel: en hjortebestand som halveres hvert fjerde år. Vi går gjennom metode med regning og i GeoGebra – trinn for trinn.
Problemet vi skal løse
En villhjortbestand i et naturreservat er blitt halvert i løpet av de siste 4 årene.
I dag (når x = 0) er det 8000 hjort i bestanden. Forskere tror at bestanden vil fortsette å halveres hvert fjerde år framover.
Oppgave: Vis at funksjonen
H(x) = 8000 \cdot 0{,}84{x}
er en god modell for antall hjort i bestanden etter x år.
Hva forteller funksjonen oss?
La oss se nærmere på hva tallene i modellen faktisk betyr:
Startverdien (a = 8000)
Dette er antallet hjort i dag, altså når x=0
Vi starter derfor med 8000 hjort i bestanden.
Vekstfaktoren (k = 0,84)
Dette tallet forteller hvor stor andel av bestanden som er igjen etter hvert år.
En vekstfaktor på 0,840 betyr at bestanden reduseres med 16 % hvert år, fordi 1−0,84=0,16.
Med andre ord: for hvert år som går, blir antallet hjort 84 % av det det var året før.
Tolkning:
Fordi vekstfaktoren 0,84 er mindre enn 1, har vi å gjøre med minkende eksponentiell vekst – bestanden krymper over tid.
Nå som vi forstår hva funksjonen representerer, skal vi undersøke om den faktisk beskriver situasjonen i oppgaven godt. Denne typen oppgave kan løses både med regning og ved hjelp av digitale verktøy som GeoGebra. Vi starter med å løse den ved regning.
Metode 1 – Regning
For å kunne si at dette er en god modell, må funksjonen stemme overens med informasjonen vi fikk i oppgaveteksten.
Vi vet to ting:
- Det er 8000 hjort i dag, altså når x = 0
- Bestanden blir halvert etter 4 år, det vil si 4000 hjort når x = 4
Vi har allerede forklart hvorfor startverdien i funksjonen er 8000 – det er antall hjort i dag når x = 0
Nå gjenstår det å sjekke om vekstfaktoren 0,84 faktisk passer med at bestanden skal halveres hvert fjerde år.
For å teste dette, setter vi opp en generell eksponentialfunksjon:
f(x) = 8000 \cdot k^{4}
Som vi ser, er dette den samme typen funksjon som vi fikk i oppgaven, bortsett fra at vekstfaktoren k nå står som ukjent. Det er denne vi skal finne og bevise.
Basert på oppgaveteksten vet vi at funksjonen skal gi halvering etter 4 år.
Det kan vi skrive som:
8000 \cdot k^{4} = 4000
Her står det altså at vi starter med 8000 hjort, og etter 4 år – når vi har multiplisert med vekstfaktoren fire ganger – skal vi ende opp med 4000 hjort.
Dette er en eksponentiell likning, og den kan løses med et digitalt verktøy som CAS (Computer Algebra System). Bilde av hvordan det ser ut i CAS
I CAS skriver vi ganske enkelt inn likningen:
8000 \cdot k^{4} = 4000og lar verktøyet løse for k.
Vi får:
k = 0,84
Dermed viser CAS at vekstfaktoren k = 0,84 stemmer nøyaktig med den funksjonen vi fikk oppgitt i oppgaven.
Konklusjon:
Funksjonen
H(x) = 8000 \cdot 0{,}84{x}
er en god modell for antall hjort i bestanden, fordi den gjenspeiler at bestanden halveres i løpet av 4 år – slik oppgaveteksten beskriver.
Metode 2 – GeoGebra
bilde av hvordan det ser ut i geogebra
Vi kan også løse denne oppgaven digitalt i GeoGebra. Da får vi raskt bekreftet om den foreslåtte funksjonen stemmer med dataene fra oppgaveteksten.
Fremgangsmåte
- Åpne et regneark i GeoGebra.
- Legg inn opplysningene fra oppgaven:
- I år 0 (altså i dag) er bestanden 8000 hjort.
- Etter 4 år er bestanden 4000 hjort.
Vi får dermed punktene (0,8000) og (4,4000)
- I år 0 (altså i dag) er bestanden 8000 hjort.
- Marker punktene i regnearket.
- Velg Regresjonsanalyse og deretter Eksponentiell regresjon fra verktøylinjen.
Resultatet
GeoGebra lager automatisk en modell som passer datasettet.
Programmet viser funksjonen:
y = 8000 \cdot 0{,}8409{x}
Denne funksjonen er praktisk talt identisk med funksjonen vi fikk i oppgaven, nemlig
H(x) = 8000 \cdot 0{,}84{x}Forskjellen skyldes kun avrunding i GeoGebra (0,8409 ≈ 0,84).
Konklusjon
GeoGebra bekrefter at modellen
H(x) = 8000 \cdot 0{,}84{x}passer godt til informasjonen vi har fått.
Funksjonen beskriver derfor nøyaktig den eksponentielle nedgangen i hjortebestanden som oppgaven handler om.
Oppsummering
Gjennom eksemplet med hjortebestanden har vi sett hvordan en eksponentialfunksjon kan brukes til å beskrive en jevn prosentvis endring over tid.
Funksjonen
H(x) = 8000 \cdot 0{,}84{x}viser tydelig hvordan bestanden minker med 16 % hvert år, og at den halveres omtrent hvert fjerde år – akkurat som oppgaveteksten beskriver.
Ved å løse oppgaven både med regning og digitalt i GeoGebra, ser vi at de to metodene gir det samme resultatet. Dette viser hvor nyttige eksponentialfunksjoner er for å modellere virkelige situasjoner, enten vi bruker dem til å forstå naturprosesser, økonomi eller befolkningsvekst.
Kort sagt: Når noe endrer seg i fast takt – enten det vokser eller minker – er eksponentialfunksjoner et kraftig verktøy for å beskrive og forutsi utviklingen.
Vi har også flere andre artikler hvor du kan lære om sentrale temaer innenfor faget Matematikk 2P.
Vil du lære mer om eksponentialfunksjoner og Matematikk 2P?
Dette var bare en introduksjon til eksponentialfunksjoner. I vårt digitale undervisningsopplegg finner du komplette videoleksjoner, forklaringer og oppgaver som hjelper deg å forstå hele pensum. Du kan prøve faget gratis og se selv hvordan vi gjør Matematikk 2P enklere og mer oversiktlig.
Ønsker du å lære mer? Sjekk ut våre fag og undervisning i Matematikk 2P!
MAT1023, MAT1151
Matematikk 2P – VGS
MAT1023, MAT1151
Matematikk 2P – Privatist
