Potenser og rotuttrykk – forstå sammenhengen

Potenser og røtter henger tett sammen. Når vi forstår hvordan de to henger sammen, blir det mye enklere å regne med både kvadratrøtter, kubikkrøtter og mer avanserte uttrykk. I denne artikkelen ser vi på hvordan vi kan skrive rotuttrykk som potenser – og hvorfor det er så nyttig å kunne gjøre det.

Hva er en potens?

En potens er en måte å skrive gjentatt multiplikasjon på.
For eksempel:

2³ = 2⋅2⋅2 = 8 

Her er 2 grunntallet, og 3 er eksponenten. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet multipliseres med seg selv.

Regnereglene for potenser gjelder vanligvis når eksponenten er et heltall – som 23 eller 52
De gjelder også når eksponenten er et brøktall (et rasjonalt tall). Og det er her sammenhengen med røtter kommer inn.

Potenser med rasjonale eksponenter

Et rasjonalt tall kan skrives som en brøk, for eksempel 1/2 eller 3/4.
Når vi får en rasjonal eksponent, betyr det at tallet er opphøyd i en brøk – for eksempel 4^1/2

La oss se hva det betyr:

(4^1/2)²

Ved hjelp av potensregelen

(aⁿ)^m = a^n*m 

kan vi skrive om uttrykket slik:

(4^1/2)² = 41^/2*2 = 4¹ = 4

Det betyr at 4^1/2 er det tallet som ganget med seg selv gir 4 – altså kvadratroten av 4.
Vi velger vanligvis den positive verdien, og dermed gjelder sammenhengen:

a^1/2 = √a

Den generelle regelen

Ut fra dette får vi den generelle sammenhengen mellom potenser og røtter:

a^1/n = n√a

Her er n et naturlig tall (1, 2, 3, …), og a er et positivt tall.
Denne regelen betyr at vi kan skrive n-te røtter som potenser med brøk i eksponenten.

Eksempel:

8^1/3 = 3 √8 = 2

Når eksponenten er en brøk med teller større enn 1

Vi kan også kombinere dette med en annen regel:

(a^m)^1/n = a^m/n 

Dette betyr at den n-te roten av a opphøyd i m kan skrives som a^m/n .
For eksempel:

3√a² = a^2/3

Eksempel: Forenkling av et uttrykk

La oss bruke reglene i praksis. Vi skal forenkle uttrykket:

√a * 3√a * 6√a³

Steg 1: Skriv alt på potensform

√a = a^1/2 , 3√a = a1^/3, 6√a³ = a^3/6

Uttrykket blir:

a^1/2 * a^1/3 * a^3/6 

Steg 2: Bruk regelen for multiplikasjon av potenser med samme grunntall

a^m * aⁿ = a^m+n

Vi legger sammen eksponentene:

a^1/2+1/3+3/6

Steg 3: Finn fellesnevner og summer eksponentene

a^3/6+2/6+3/6 = a^8/6 = a^4/3

Svar:

√a * 3√a * 6√a³ = a^4/3

Hvorfor er dette nyttig?

Når vi skriver røtter som potenser, kan vi bruke de samme regnereglene for alle uttrykk.
Det betyr at vi slipper å forholde oss til rottegn og kan bruke de vanlige potensreglene til å forenkle, multiplisere og forkorte uttrykk på en enkel og systematisk måte.

Kort sagt:
Ved å skrive rotuttrykk som potenser får du et kraftig verktøy for å håndtere algebraiske uttrykk – både raskere og mer presist.

Vi har også flere andre artikler hvor du kan lære om sentrale temaer innenfor faget Matematikk 1T.

• Forstå Tangens

Vil du lære mer om potenser, rotuttrykk og Matematikk 1T?

Dette var bare en introduksjon til potenser og rotuttrykk. I vårt digitale undervisningsopplegg finner du komplette videoleksjoner, forklaringer og oppgaver som hjelper deg å forstå hele pensum. Du kan prøve faget gratis og se selv hvordan vi gjør Matematikk 1T enklere og mer oversiktlig.

Ønsker du å lære mer? Sjekk ut våre fag og undervisning i Matematikk 1T!