Kuhn-Tuckers metode

Kuhn-Tuckers metode er absolutt noe du bør få kontroll på, dersom du skal ta eksamen i matematisk analyse dette semesteret. Her går vi gjennom hvordan du bruker metoden, steg for steg ☺️

Hva er Kuhn-Tuckers metode? 

Kuhn-Tuckers metode er en metode for å finne maksimumspunkter og minimumspunkter til funksjoner under bibetingelser, hvor bibetingelsene er ulikheter. 

Kuhn-Tuckers metode bygger på Lagranges metode, men håndterer også ulikheter gjennom fortegnskrav på multiplikatorene og komplementær slakkhet (complementary slackness).

Skal du ta eksamen i Matematisk analyse dette semesteret? Her kan du teste du vårt eksamenskurs gratis 🙌🏻

Fremgangsmåte for Kuhn–Tuckers metode

Vi viser et maksimeringsproblem med ulikhetsbetingelser. Fortegnene nedenfor hører til akkurat denne konvensjonen. Et minimeringsproblem kan skrives som maksimering av den negative målfunksjonen.

1. Definer problemet

\max_x f(x) \quad \text{gitt } g_j(x)\le b_j,\quad j=1,\ldots,m

Målfunksjonen beskriver det du vil maksimere. Bibetingelsene avgrenser hvilke valg som er tillatt. Her forutsetter vi deriverbare funksjoner og at eventuelle begrensninger på variablene er tatt med.

2. Sett opp Lagrangefunksjonen

L(x,\lambda)=f(x)-\sum_{j=1}^{m}\lambda_j\bigl(g_j(x)-b_j\bigr)

3. Skriv KKT-betingelsene

For hver variabel og hver bibetingelse kontrollerer vi stasjonaritet, tillatte løsninger, ikke-negative multiplikatorer og komplementær slakkhet:

\frac{\partial L}{\partial x_i}=0,\qquad g_j(x)\le b_j,\qquad \lambda_j\ge0,\qquad \lambda_j\bigl(g_j(x)-b_j\bigr)=0

Komplementær slakkhet betyr at en slakk bibetingelse har multiplikator lik null. En positiv multiplikator krever at bibetingelsen er aktiv, altså at ulikheten gjelder med likhet. Men en aktiv bibetingelse kan også ha multiplikator lik null.

4. Undersøk aktive og inaktive bibetingelser

Del opp i mulige tilfeller: enten er en bibetingelse aktiv, eller så setter du multiplikatoren til null. Løs likningene og forkast kandidater som bryter en bibetingelse eller kravet om ikke-negative multiplikatorer.

5. Kontroller om kandidaten er et maksimum

KKT-betingelsene er nødvendige ved et lokalt optimum når egnede regularitetskrav er oppfylt. De er ikke alene en garanti for et globalt maksimum. Hvis målfunksjonen er konkav og ulikhetsfunksjonene er konvekse, er en kandidat som oppfyller betingelsene et globalt maksimum. I andre tilfeller må du undersøke problemet videre; det holder ikke alltid å sammenligne kandidatverdiene.

Nå håper jeg du har fått bedre kontroll på hvordan du bruker Kuhn-Tuckers metode 🤗

Om du skal ta eksamen i matematisk analyse dette semesteret, bør du også få kontroll på hvordan du finner inverse til en matrise. Har tar vi deg gjennom prosessen 🫶🏻

Lyst på en grundigere gjennomgang? Test vårt eksamenskurs gratis her👇🏻

Ofte stilte spørsmål