Andre- og tredjegradsfunksjoner – slik kjenner du dem igjen

Andregradsfunksjoner og tredjegradsfunksjoner er to av de vanligste typene ikke-lineære funksjoner vi møter i matematikken. De skiller seg fra lineære funksjoner ved at grafene deres ikke er rette linjer, men buer som peker oppover, nedover – eller svinger flere ganger. Denne teksten vil forhåpentligvis hjelpe deg å forstå hva som kjennetegner andregrads- og tredjegradsfunksjoner, hvordan du kjenner dem igjen, og hva grafene deres faktisk forteller deg.

Hva er en andregradsfunksjon? 

En andregradsfunksjon er en funksjon der x er opphøyd i to – altså der x² er den høyeste potensen av x.

Det høres kanskje avansert ut, men det betyr rett og slett at uttrykket inneholder et x²-ledd, og at det ikke finnes noen høyere eksponenter av x.

For eksempel:

f(x) = ax² + bx + c

Dette er en andregradsfunksjon, fordi x² er den største potensen av x i uttrykket. 

I tillegg er a, b og c konstanter (faste tall), og a ≠ 0. Hvis a hadde vært 0, ville x²-leddet forsvunnet, og vi hadde hatt en lineær funksjon i stedet.

Slik ser grafen til en andregradsfunksjon ut

Tegner du en andregradsfunksjon i et koordinatsystem, får du en parabel – en buet graf som enten peker oppover eller nedover. Formen bestemmes av verdien til a.

• Hvis a > 0, peker buen oppover – grafen «smiler»
  → Funksjonen har et bunnpunkt
  
• Hvis a < 0, peker buen nedover – grafen «ser sur ut»
  → Funksjonen har et toppunkt
  

Dette høyeste eller laveste punktet på grafen kalles et ekstremalpunkt.

Andregradsfunksjoner har alltid nøyaktig ett ekstremalpunkt – enten et toppunkt eller et bunnpunkt.

Konstantleddet – der grafen treffer y-aksen 

Når vi ser på en andregradsfunksjon, for eksempel

f(x) = ax² + bx + c

er c det vi kaller konstantleddet.

Konstantleddet viser hvor grafen krysser y-aksen når x = 0. Dette punktet kalles ofte y-skjæringspunktet. 

Med andre ord: Setter du inn x = 0 i funksjonen, får du verdien til c.

Eksempler: 

• f(x) = x² – 3x – 1 → her er c = −1, så grafen skjærer y-aksen i y = -1.
  
• g(x) = 2x² − 5x → her mangler det et konstantledd, men da vet vi at c = 0, og grafen går gjennom (0, 0).
  

Tips: Husk at konstantleddet alltid forteller deg hvor grafen treffer y-aksen, uansett hvordan grafen ellers ser ut.

Nullpunkter og ekstremalpunkt

I en andregradsfunksjon, for eksempel

f(x) = ax² + bx + c

er nullpunktene de x-verdiene som gjør at funksjonsverdien blir 0.

Med andre ord:
Når f(x) = 0, ligger punktet på x-aksen.
Det er derfor vi sier at grafen skjærer x-aksen i nullpunktene.

Slik finner du nullpunktene

For å finne nullpunktene setter du ganske enkelt funksjonen lik null og løser likningen:

ax² + bx + c = 0

Løsningen(e) du får for x, er nullpunktene. Disse punktene forteller oss hvor grafen krysser x-aksen.

En andregradsfunksjon kan ha:

• To nullpunkter → grafen skjærer x-aksen to steder
  
• Ett nullpunkt → grafen tangerer (berører) x-aksen
  
• Ingen nullpunkter → grafen ligger helt over eller under x-aksen
  

Eksempler:

• f(x) = -3x² + 6x + 9  → grafen skjærer x-aksen to steder, ved x = -1 og x = 3.
  
  
• h(x) = x² – x + 0,25 → grafen har ett nullpunkt ved x = 0,5.
  

 

Husk:

Når du snakker om ekstremalpunkter (topp- eller bunnpunkt), oppgir du hele punktet (x, y).

Når du snakker om nullpunkter, oppgir du bare x-verdiene.

Hva er en tredjegradsfunksjon?

En tredjegradsfunksjon er en funksjon der x er opphøyd i tre – altså der x³er den høyeste potensen av x. Det betyr at uttrykket alltid inneholder et x³-ledd, og at det ikke finnes noen høyere eksponenter av x.

For eksempel:

f(x) = ax³− bx² + cx + d

Dette er en tredjegradsfunksjon, fordi x³ er den største potensen av x i uttrykket og a ≠ 0.

Slik ser grafen til en tredjegradsfunksjon ut illustrasjon over tredjegradsfunksjoner med piler til alle begrepene i teksten

Grafen til en tredjegradsfunksjon får ofte en bølgete form – den kan svinge opp og ned, eller gå rett gjennom uten å snu.
Hvor mye grafen bøyer seg, og i hvilken retning den går, avhenger av tallene foran leddene, altså koeffisientene.

En tredjegradsfunksjon kan ha:

• Mellom 1 og 3 nullpunkter
  
• Ett toppunkt og ett bunnpunkt, eller ingen ekstremalpunkter i det hele tatt. 

Til sammenligning:
Hvis funksjonen i stedet hadde hatt x4 som høyeste potens – for eksempel

f(x) = 3×4− x² + 5

– da ville det vært en fjerdegradsfunksjon.

Vi har også flere andre artikler hvor du kan lære om sentrale temaer innenfor Matematikk.

• Eksponentialfunksjoner
• Potenser og rotuttrykk

Trenger du mer hjelp med funksjoner og annen matematikk, har vi en egen artikkel om mattehjelp med privatlærer eller digital undervisning.

Vil du videre i funksjonslæren, har vi også en artikkel om grenseverdier.

Ofte stilte spørsmål

Vil du lære mer om andre- og tredjegradsfunksjoner og Matematikk 1P?

Dette var bare en introduksjon til Andre- og tredjegradsfunksjoner. I vårt digitale undervisningsopplegg finner du komplette videoleksjoner, forklaringer og oppgaver som hjelper deg å forstå hele pensum. Du kan prøve faget gratis og se selv hvordan vi gjøre mattematikk 1P enklere og mer oversiktlig.

Ønsker du å lære mer? Sjekk ut våre fag og undervisning i Matematikk 1P!