Asymptoter: vertikale og horisontale

En asymptote er en rett linje som en funksjonsgraf nærmer seg. En horisontal asymptote beskriver oppførselen langt mot høyre eller venstre, og grafen kan krysse denne linjen underveis. Det finnes flere typer asymptoter, f.eks. horisontal og vertikal asymptote. Denne artikkelen vil dykke ned i disse konseptene med eksempler og forklaringer.

Hva er en asymptote?

Asymptoter oppstår som regel i rasjonale funksjoner. En generell rasjonell funksjon ser slik ut:

Hvis h(a) = 0 vil det kunne eksistere en asymptote for x = a.

For å avgjøre om linjen x = a er en vertikal asymptote, undersøker vi funksjonens grenseverdier fra hver side av punktet.

Vertikal asymptote

En vertikal asymptote oppstår når funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig fra minst én side av punktet. For en rasjonal funksjon kan dette skje når nevneren går mot 0. Men null i nevneren er ikke nok alene: Hvis en felles faktor kan forkortes bort, kan grafen ha et hull i stedet. La oss undersøke et eksempel:

Vi ser at hvis x = 5 så vil vi få 0 i nevneren. Dette innebærer at vi har en vertikal asymptote for x = 5.

Her vil funksjonen f(x) aldri krysse eller berøre x = 5. Funksjonen går mot – ∞ og ∞ når x→5.

Horisontal asymptote

En horisontal asymptote finnes når funksjonsverdien nærmer seg et bestemt tall når x går mot pluss eller minus uendelig. Grafen kan krysse linjen underveis. Vi finner asymptoten ved å undersøke grenseverdien:

f(x) = b. Her vil y = b være asymptote linjen vår. La oss undersøke dette med et eksempel:

Den horisontale asymptoten finner vi ved å ta:

Nå kommer et viktig steg som er spesielt for horisontale asymptoter. Dette er nemlig å identifisere den «dominerende» x potensen. Den «dominerende» x potensen vil være den x-en som har høyest potens eller grad. Vi har tre x potenser her. Nemlig 2x, x og x2. Vi ser da at x2 har høyest potens, og vil da bli den «dominerende» x potensen.

Når denne er funnet så skal vi dele alle leddene i funksjonen med den «dominerende» x potensen. Slik ser det ut:

Hva skjer nå, når x går mot uendelig?

I dette eksempelet går leddene med x i nevneren mot 0 når x vokser uten grense. Funksjonsverdien nærmer seg derfor 0, og den horisontale asymptoten er linjen y = 0.

Hvis funksjonen har den dominerende x potensen i teller, vil vi ikke få noen horisontal asymptote.

Hvis en funksjon har dominerende x-potenser av samme grad, vil asymptoten være forholdet mellom koeffisientene foran disse x-potensene. F.eks.

For et dypere dykk inn i asymptoter og grenseverdier, kan du finne lærerike eksamenskurs i R1 utviklet av toppstudenter nedenfor!

Ofte stilte spørsmål

Hva er forskjellen på en vertikal og en horisontal asymptote?

En vertikal asymptote er en loddrett linje som grafen nærmer seg når funksjonsverdien vokser eller minker uten grense. En horisontal asymptote er en vannrett linje grafen nærmer seg når x går mot pluss eller minus uendelig.

Kan grafen krysse en horisontal asymptote?

Ja. En horisontal asymptote beskriver hvordan funksjonen oppfører seg når x går langt mot høyre eller venstre. Grafen kan derfor krysse asymptoten ved enkelte x-verdier og likevel nærme seg den når x går mot uendelig.