Akselerasjon og bevegelsesligningene: formler og eksempler

Akselerasjon forteller hvor raskt hastigheten endrer seg. Når akselerasjonen er konstant, kan du bruke de fire bevegelsesligningene til å finne fart, tid og forflytning. Her lærer du hva formlene betyr, og hvordan du velger riktig ligning.

Vi bruker blant annet en lengdehopper som eksempel. Hun løper 35 meter på 5,7 sekunder. Gjennomsnittsfarten er 6,14 m/s. Hvis hun starter fra ro og akselererer jevnt, blir sluttfarten 12,28 m/s. Hvorfor blir tallene forskjellige?

Hvorfor holder ikke s = v · t når farten endrer seg?

Fra ungdomsskolen kjenner du vei-fart-tid-trekanten. Strekning er fart ganger tid. Den fungerer perfekt så lenge farten er den samme hele veien.

Lengdehopperen starter fra ro. Det første sekundet beveger hun seg knapt. Det siste sekundet flyr hun av gårde. Setter du 6,14 m/s inn i s = v · t, får du riktig totalstrekning, men helt feil fart i satsen. Satsfarten er én av faktorene som påvirker hvor langt hoppet blir.

Bevegelsesligningene bytter ut selve forutsetningen. De krever konstant akselerasjon i stedet for konstant fart. Farten får lov til å endre seg, så lenge den endrer seg jevnt.

Hva er akselerasjon?

Akselerasjon er hvor raskt hastigheten endrer seg, altså endring i hastighet delt på tiden det tok. Enheten er meter per sekund per sekund, m/s². Går en båt fra 10 m/s til 20 m/s på 20 sekunder, er gjennomsnittsakselerasjonen (20 − 10) / 20 = 0,5 m/s².

Legg merke til at tiden alltid er med. «Farten økte med 10 m/s» sier ingenting om akselerasjonen før du vet om det tok 2 sekunder eller 2 timer.

Hvis akselerasjonen er konstant, legger båten på seg 0,5 meter per sekund i fart, hvert eneste sekund. Etter ett sekund holder den 10,5 m/s, etter to 11 m/s, og slik fortsetter det. Den lesemåten er den raskeste veien til å holde m/s og m/s² fra hverandre.

Posisjon, fart og akselerasjon henger sammen som en trapp

Posisjonen x sier hvor noe er. Fortegnet bærer informasjon: setter du startpunktet til null, ligger x = +10 m ti meter foran deg og x = −10 m ti meter bak.

Hastigheten v sier hvor raskt posisjonen endrer seg og i hvilken retning, målt i m/s. Akselerasjonen a sier hvor raskt hastigheten endrer seg. Hvert trinn i trappen er endringsraten til trinnet under.

Gjennomsnitt eller momentan?

Både fart og akselerasjon finnes i to utgaver, og oppgavene spiller på forskjellen.

Gjennomsnittsfart er strekning delt på tid. Sykler du 100 meter på 20 sekunder, er den 5 m/s, uansett om du holdt jevn fart eller spurtet på slutten.

Momentanfart er farten i ett bestemt øyeblikk, den speedometeret viser. Stigningstallet til posisjon-tid-grafen gir hastigheten. Farten er absoluttverdien av dette stigningstallet.

Det samme skillet gjelder akselerasjon. Gjennomsnittsakselerasjonen er endringen i hastighet delt på tiden, altså (v − v₀) / t. Momentanakselerasjonen er endringsraten til hastigheten, altså stigningstallet til hastighet-tid-grafen i ett punkt.

Er hastighet-tid-grafen en rett skrå linje, er de to utgavene like store hele veien, og det er akkurat i det tilfellet bevegelsesligningene gjelder. Er grafen krum, kan du fortsatt regne ut gjennomsnittsakselerasjonen, men da beskriver den bare snittet over intervallet, og formlene nedenfor gir feil svar. Båteksempelet over er et gjennomsnitt: 0,5 m/s² er riktig som snitt, men farten kan godt ha økt ujevnt underveis.

Hva et minustegn faktisk betyr

Hastighet og akselerasjon er vektorstørrelser: de har både størrelse og retning. Fart er størrelsen til hastigheten og kan ikke være negativ. I bevegelsesligningene bruker vi hastigheten v med fortegn.

Fortegnet på hastigheten sier hvilken vei objektet beveger seg. Fortegnet på akselerasjonen sier hvilken retning akselerasjonen peker, altså hvilken vei kraften trekker.

Regelen er at farten avtar bare når fortegnene er forskjellige. Kjører bilen framover (v positiv) og a er negativ, bremser den. Men kjører bilen bakover (v negativ) og a er negativ, går det stadig fortere bakover. Negativ akselerasjon i seg selv betyr ikke bremsing.

Fortegn på v	Fortegn på a	Hva som skjer
Positiv	Positiv	Beveger seg framover, farten øker
Positiv	Negativ	Beveger seg framover, farten avtar (bremser)
Negativ	Negativ	Beveger seg bakover, farten øker
Negativ	Positiv	Beveger seg bakover, farten avtar

Ordet retardasjon brukes om det tilfellet der farten avtar, altså rad to og rad fire. Det er ikke et annet ord for «negativ akselerasjon». En ball du kaster rett opp illustrerer poenget: a peker nedover hele veien, men ballen bremser på vei opp og akselererer på vei ned.

Hva kan du lese ut av en graf?

Posisjon-tid-grafer og hastighet-tid-grafer viser ulike sider ved samme bevegelse. Du kan også møte navnet «fart-tid-graf». Sjekk da om v er oppgitt med fortegn, slik vi gjør her.

I en posisjon-tid-graf er stigningstallet hastigheten. Rett linje betyr konstant hastighet. En krum graf betyr at hastigheten endrer seg. Brattere kurve betyr økende fart, utflating betyr synkende fart, vannrett linje betyr at objektet står stille.

I en hastighet-tid-graf er stigningstallet akselerasjonen. Hastighet-tid-grafen har én egenskap til som er verdt å pugge: arealet under hastighet-tid-grafen er forflytningen, altså endringen i posisjon. Er grafen satt sammen av rette linjer, finner du den med rektangler og trekanter, uten å røre en eneste formel.

Her lurer en felle. Arealet regnes med fortegn. Går grafen under x-aksen, beveger objektet seg bakover, og det arealet skal trekkes fra. En bil som kjører 100 meter framover og 100 meter tilbake har forflytning 0, mens tilbakelagt strekning er 200 meter. Skal du finne tilbakelagt strekning, legger du sammen absoluttverdien av arealene. Så lenge hastigheten er positiv hele veien, noe den er i alle eksemplene under, er de to tallene like.

Graf	Stigningstallet gir	Arealet under gir	Rett linje betyr
Posisjon-tid	Hastighet	Ingen fysisk mening	Konstant hastighet
Hastighet-tid	Akselerasjon	Forflytning (areal med fortegn)	Konstant akselerasjon

Sjekk alltid hva som står på aksene før du tolker en kurve. En brattere graf betyr høyere fart i det ene tilfellet og høyere akselerasjon i det andre.

De fire bevegelsesligningene

Størrelsene som inngår er starthastigheten v₀, slutthastigheten v, akselerasjonen a, tiden t og forflytningen s. Her ser vi på bevegelse langs én rett linje.

Fartsligningen:

v=v_0+at

Posisjonsligning 1:

s=\frac{v+v_0}{2}t

Posisjonsligning 2:

s=\frac12at^2+v_0t

Den tidløse ligningen:

v^2-v_0^2=2as

Alle fire forutsetter at akselerasjonen er konstant. Det står ikke i formlene, men det er betingelsen som gjør dem gyldige, og den må du sjekke hver eneste gang.

Tommelfingerregelen er at kjenner du tre av de fem størrelsene, finner du som regel de to andre. Formuleringen «som regel» er med vilje. Hvilke tre du kjenner har noe å si, og noen kombinasjoner krever at du løser en andregradsligning eller bruker to formler etter hverandre. Framgangsmåten er derfor å velge formel ut fra hvilke størrelser du har, ikke å telle til tre. Den siste formelen kalles tidløs fordi t ikke inngår i den.

Betingelsen du må sjekke hver gang

Alle fire forutsetter konstant akselerasjon. Fritt fall nær jordoverflaten kan regnes slik når vi ser bort fra luftmotstand. Står det at motorkraften varierer underveis, eller at luftmotstanden vokser med farten, gjelder de ikke, og da trenger du derivasjon og integrasjon i stedet.

Hva s egentlig betyr

I ligningene står s for endringen i posisjon, altså x − x₀, selv om vi bare skriver s. Starter bevegelsen i 0 og ender i 50 meter, er s = 50 m. Starter den i 20 meter og ender i 50 meter, er s = 30 m. Vanen med å skrive bare s kommer av at bevegelser som regel starter i null. Sjekk hvor bevegelsen begynner før du setter inn.

Symbolene varierer også mellom kapitler. Posisjon skrives ofte x når du jobber med grafer, mens bevegelsesligningene bruker s. Her bruker vi x om posisjonen og s om endringen i posisjon.

Hvordan velger du riktig bevegelsesligning?

Skriv opp de tre størrelsene du kjenner og den du skal finne. Velg så den ligningen som inneholder akkurat disse fire og ingen flere. Gjør du dette først, faller valget av seg selv.

Eksempel 1: lengdehopperen setter av

Tilløpet er 35 meter, hun starter fra ro og bruker 5,7 sekunder. Vi antar konstant akselerasjon.

Kjent: s = 35 m, v₀ = 0 m/s, t = 5,7 s. Søkt: v. Posisjonsligning 1 inneholder nøyaktig disse fire.

35\,\mathrm{m}=\frac{v+0}{2}\cdot5{,}7\,\mathrm{s} v=\frac{2\cdot35\,\mathrm{m}}{5{,}7\,\mathrm{s}}\approx12{,}28\,\mathrm{m/s}

Kontrollen ligger rett foran deg: gjennomsnittsfarten er 35 / 5,7 = 6,14 m/s, nøyaktig halvparten. Når v₀ = 0 og akselerasjonen er konstant, er gjennomsnittsfarten alltid halve sluttfarten. Vil du ha akselerasjonen også, snur du fartsligningen: a = (v − v₀) / t = 12,28 / 5,7 = 2,15 m/s².

Eksempel 2: steinen som faller 20 meter

Tyngdeakselerasjonen g er omtrent 9,81 m/s² i Norge. For korte fall nær jordoverflaten regner vi g som konstant og ser bort fra luftmotstand. Velger vi nedover som positiv retning, blir a = g.

Du slipper en stein fra 20 meters høyde. Vi velger positiv retning nedover slik at de kjente verdiene blir: s = 20 m, v₀ = 0 m/s, a = 9,81 m/s². Søkt: t. Posisjonsligning 2 er den eneste med akkurat disse.

\begin{aligned}20\,\mathrm{m}&=\frac12\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot t^2\\t&=\sqrt{\frac{2\cdot20\,\mathrm{m}}{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}}\approx2{,}02\,\mathrm{s}\end{aligned}

Farten i det steinen treffer bakken finner du med fartsligningen: v = 9,81 · 2,02 = 19,8 m/s, altså 71 km/t. To meter ned tar 0,64 sekunder. Ti ganger så langt fall tar bare drøyt tre ganger så lang tid, fordi farten vokser hele veien ned.

Hva gjør du når oppgaven ikke nevner tid?

Noen oppgaver verken oppgir tiden eller spør etter den. Da bruker du den tidløse ligningen, og du sparer et helt regnesteg.

Eksempel 3: bremselengde ved 90 og 45 km/t

En bil holder 90 km/t og bremser med konstant retardasjon 6,0 m/s² til den står stille. Hvor langt går den?

Farten må over til m/s: 90 / 3,6 = 25 m/s. Sluttfarten er 0, og akselerasjonen er negativ fordi bilen bremser i den retningen den kjører.

(0\,\mathrm{m/s})^2-(25\,\mathrm{m/s})^2=2\cdot(-6{,}0\,\mathrm{m/s^2})\cdot s s=\frac{625}{12}\,\mathrm{m}\approx52{,}1\,\mathrm{m}

Halver farten til 45 km/t, altså 12,5 m/s, og regnestykket blir 156,25 / 12 = 13,0 m. Fire ganger kortere. Startfarten står i annen potens i den tidløse ligningen, så bremselengden vokser kvadratisk med farten. Det er den samme v²-en som gjør bevegelsesenergien firedoblet ved dobbel fart.

Fem vanlige feil – og hvordan du unngår dem

Brukt ligningene når akselerasjonen varierer. Svaret kan se fornuftig ut selv om forutsetningen ikke er oppfylt. Les oppgaveteksten etter ordet «jevnt» før du setter i gang.

Blandet gjennomsnittsfart og momentanfart. På et tilløp fra ro med konstant akselerasjon skiller de en faktor to, som eksempelet over viser. Spør deg selv om oppgaven vil ha farten over hele strekningen eller farten i ett punkt.

Lest negativ akselerasjon som at objektet snur, eller som at det alltid bremser. Minustegnet på a sier bare hvilken vei hastigheten endres. Bilen bremser hvis den kjører framover, og setter opp farten hvis den rygger. Sjekk fortegnet på v før du konkluderer.

Satt s lik sluttposisjonen. s er endring i posisjon. Starter bevegelsen i 20 meter og ender i 50, er s = 30 m, ikke 50.

Km/t rett inn i formelen. Alle fire ligningene krever meter per sekund. Del på 3,6 først. Setter du 90 rett inn i bremseeksempelet, blir svaret 675 meter i stedet for 52.

Ofte stilte spørsmål

Lær mer

Bevegelse er grunnmuren i Fysikk 1. Har du posisjon, fart, akselerasjon og de fire ligningene på plass, får du mye gratis når du kommer til Newtons lover, kastbevegelse og energi. På EnkelEksamen finner du videoundervisning i Fysikk 1 og 1T der vi går gjennom posisjon, fart, akselerasjon og bevegelsesligningene steg for steg, med grafer og oppgaver løst underveis.