Tidsdilatasjon: slik viser lysklokken at tid er relativt

Tidsdilatasjon betyr at tiden mellom to hendelser måles til å være lengre når klokken som måler dem beveger seg i forhold til observatøren. Vi sier ofte litt enklere at en klokke i bevegelse «går saktere. Effekten blir stor først når farten nærmer seg lysfarten. Her lærer du formelen, hva egentid betyr, og hvordan tidsdilatasjon forklarer at partikler fra atmosfæren rekker ned til bakken.

Hva er tidsdilatasjon?

Spesiell relativitetsteori bygger på to grunnleggende prinsipper, også kalt postulater.

Relativitetsprinsippet. Fysikkens lover er de samme i alle treghetssystemer. Tenk deg en buss som beveger seg rett fram med konstant hastighet, uten risting. Et eksperiment inne i bussen, uten kontakt med omgivelsene, kan ikke avsløre en «absolutt» bevegelse.

Lysfarten er konstant. Lys i vakuum har farten c ≈ 3,00 · 10⁸ m/s for alle observatører, uansett hvordan de selv beveger seg, og uansett hvordan lyskilden beveger seg.

Sammenlign med noe du kjenner. Du kjører i 100 km/t, en bil passerer deg i 120 km/t, og relativt til deg kjører den 20 km/t. Farter legges sammen og trekkes fra. Lyset nekter å være med på det. Jager du etter en lysstråle i 0,9c, måler du fortsatt at den forsvinner fra deg med c, ikke med 0,1c.

Det spesielle med lys er at begge observatørene må måle nøyaktig samme lyshastighet, selv om de er i bevegelse i forhold til hverandre. Det er nettopp dette som gjør at de ikke kan være enige om hvor lang tid lysglimtet bruker.

Hva er en lysklokke?

Vi kan forklare tidsdilatasjon med en tenkt lysklokke. To speil står rett over hverandre med avstanden d. Et lysglimt spretter opp og ned mellom dem. I denne utledningen regner vi ett «tikk» på klokken som en hel tur-retur, altså opp til det øverste speilet og ned igjen. Hold fast på den definisjonen hele veien, ellers får du en faktor 2 på avveie.

Sett klokken i gulvet på bussen, med speilet i taket.

Sett fra deg som sitter i bussen

Lyset går rett opp og rett ned. Samlet strekning er 2d. Farten er c, så tiden per tikk blir:

t_0=\frac{2d}{c}

Denne tiden heter egentiden.

Sett fra deg som står langs veien

Bussen passerer med farten v. Mens lyset beveger seg opp mot speilet, beveger bussen og speilet seg framover. Sett fra bakken går lyset derfor ikke rett opp, men langs en diagonal bane. Lyset tilbakelegger altså en lengre strekning enn sett fra bussen.

Men lyshastigheten er fortsatt c for deg som står langs veien. Når lyset skal tilbakelegge en lengre strekning med samme fart c, må reisen ta lengre tid. Derfor måler du et lengre tidsintervall enn personen på bussen: t > t₀.

Utledningen med Pytagoras

Se på halve tikket, altså reisen fra det nederste til det øverste speilet. For observatøren langs veien, tar denne tiden t/2 og de tre sidene i trekanten blir:

Side i trekanten	Lengde
Loddrett katet, høyden til speilet	d
Vannrett katet, bussens forflytning	v · t / 2
Hypotenus, lysets vei	c · t / 2

Pytagoras gir:

\left(\frac{ct}{2}\right)^2=d^2+\left(\frac{vt}{2}\right)^2

Gang begge sider med 4:

c^2t^2=4d^2+v^2t^2

Samle leddene med t² på venstre side:

t^2(c^2-v^2)=4d^2

Nå kommer trikset. Egentiden ga t₀ = 2d/c, altså 2d = c · t₀, og dermed 4d² = c²t₀². Sett det inn:

t^2(c^2-v^2)=c^2t_0^2

Løs for t², og del deretter teller og nevner på c²:

t^2=\frac{c^2t_0^2}{c^2-v^2}=\frac{t_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}

Ta kvadratrota:

t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Siden nevneren √(1 − v²/c²) alltid er mindre enn eller lik 1, blir t alltid større enn eller lik t₀. Observatøren langs veien måler altså et lengre tidsintervall enn observatøren som beveger seg sammen med lysklokken. Dette er tidsdilatasjon.

Legg merke til at d forsvant underveis. Avstanden mellom speilene spiller ingen rolle for resultatet. Sammen med relativitetsprinsippet er det grunnen til at argumentet gjelder for alle klokker, og ikke bare for den ene vi bygde.

Lorentzfaktoren

Brøken foran t₀ har fått sitt eget navn og symbol:

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Da skrives formelen kompakt som t = γ · t₀. Så lenge v er større enn null, er γ større enn 1, og t er alltid større enn t₀. Lorentzfaktoren forteller altså hvor mye tidsintervallet «strekkes» mellom de to referansesystemene. Når farten er liten sammenlignet med lyshastigheten, er γ omtrent 1 og tidsdilatasjonen er nesten umerkelig. Når farten nærmer seg lyshastigheten, vokser γ raskt og effekten blir stor.

Hva er egentid, og hvordan kjenner du den igjen?

Egentid er tiden mellom to bestemte hendelser, målt i det systemet der begge hendelsene skjer på samme sted. En enkel måte å finne egentiden på er derfor å spørre: Hvilken observatør er på samme sted når begge hendelsene skjer? Klokken som følger denne observatøren, måler egentiden. I lysklokken er de to hendelsene at lysglimtet forlater gulvet og at det kommer tilbake til gulvet. De skjer på samme punkt, men bare for deg som sitter i bussen. For deg som står langs veien, har gulvet flyttet seg mellom de to hendelsene.

I oppgaver med konstant relativ hastighet er t₀ tiden målt av klokken som er til stede ved begge hendelsene. Andre treghetssystemer måler et lengre tidsintervall mellom de samme hendelsene. Myonets midlere levetid på 2,2 mikrosekunder er for eksempel målt i myonets eget hvilesystem.

Legg merke til forbeholdet «for et gitt hendelsespar». En klokke måler alltid sin egen egentid langs bevegelsen sin. Når vi bruker formelen t = γ · t₀, må vi likevel være tydelige på hvilke to hendelser vi sammenligner. Bytter du hendelsespar, kan det være en annen observatør som måler egentiden. Velg derfor hendelsene først, og finn deretter riktig t₀ i oppgaven.

Hvor stor blir effekten?

Fart v	v / c	Lorentzfaktor γ
0	0	1,000
0,10 c	0,10	1,005
0,50 c	0,50	1,155
0,90 c	0,90	2,294
0,99 c	0,99	7,089
0,999 c	0,999	22,37

Ved 10 prosent av lysfarten er hele utslaget en halv prosent. Lorentzfaktoren vokser særlig raskt når farten nærmer seg c. Fra 0,99c til 0,999c øker farten bare fra 99 % til 99,9 % av lyshastigheten, mens γ øker fra omtrent 7,1 til 22,4.

Ved hastigheter vi møter i hverdagen er effekten ekstremt liten, fordi v²/c² da er nesten null og γ derfor er svært nær 1. Et tog i 300 km/t har γ − 1 ≈ 3,9 · 10⁻¹⁴. Reiser du i to timer, taper klokken din 2,8 · 10⁻¹⁰ sekunder mot en klokke på perrongen. Atomklokker om bord i fly er likevel presise nok til å fange opp effekten, og den er målt.

Regneeksempel: rekker myonet ned?

Myoner dannes rundt 15 km oppe når kosmisk stråling smeller inn i luftmolekyler. Midlere levetid er 2,2 mikrosekunder. Et myon som beveger seg med 0,999c:

Uten relativitet. Uten tidsdilatasjon ville svært få av disse myonene overlevd helt ned til bakken:

\begin{aligned}s&=vt_0\\&=0{,}999\cdot3{,}00\cdot10^8\,\mathrm{m/s}\cdot2{,}2\cdot10^{-6}\,\mathrm{s}\\&\approx659\,\mathrm{m}\end{aligned}

Med relativitet. Lorentzfaktoren blir:

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}999^2}}\approx22{,}37

Sett fra bakken blir myonets midlere levetid:

t=\gamma t_0\approx22{,}37\cdot2{,}2\,\mathrm{\mu s}\approx49{,}2\,\mathrm{\mu s}

På den tiden tilbakelegger det:

\begin{aligned}s&=vt\\&\approx0{,}999\cdot3{,}00\cdot10^8\,\mathrm{m/s}\cdot49{,}2\cdot10^{-6}\,\mathrm{s}\\&\approx14\,700\,\mathrm{m}\end{aligned}

Les de to tallene riktig. Myonhenfall er en tilfeldig prosess, akkurat som radioaktivt henfall. De 2,2 mikrosekundene er et gjennomsnitt, ikke en dødsdato, og de 659 og 14 700 metrene er derfor midlere henfallslengder og ikke rekkevidder. Noen myoner henfaller etter 200 meter, andre kommer mye lenger.

Poenget står likevel, og det blir tydeligere av å regne på andeler. Uten tidsdilatasjon svarer 15 km til 15 000 / 659 = 22,8 midlere henfallslengder, og andelen som overlever blir e^−22,8 ≈ 1,3 · 10⁻¹⁰, altså rundt ett myon av åtte milliarder. Med tidsdilatasjon svarer de samme 15 kilometerne til 15 000 / 14 700 = 1,02 henfallslengder, og andelen som overlever blir e^−1,02 ≈ 0,36. I denne forenklede modellen, med konstant fart og 15 km reisevei, når rundt en tredel bakken i stedet for noen ytterst få. Detektorer teller dem hver dag, og fasiten er den relativistiske.

Samme regnestykke andre veien

Proxima Centauri ligger 4,24 lysår unna. Et romskip i 0,99c bruker omtrent 4,28 år sett fra jorda. Om bord er det egentiden som løper, og den finner du ved å dele:

t_0=\frac{t}{\gamma}\approx\frac{4{,}28\,\text{år}}{7{,}089}\approx0{,}60\,\text{år}

Det er drøye syv måneder. Mannskapet aldres syv måneder mens familien hjemme aldres fire år og tre måneder.

I et faktisk tvillingparadoks må den reisende snu og dermed bytte referansesystem. Situasjonen til de to personene er derfor ikke symmetrisk gjennom hele reisen. Regnestykket over gjelder strekket der farten er konstant. Akselerasjonsfasene kan også behandles innenfor spesiell relativitetsteori, men da med en lorentzfaktor som endrer seg underveis, og det ligger over Fysikk 2.

Hvorfor går GPS-klokkene raskere, ikke saktere?

GPS er det mest brukte eksempelet på relativitet i praksis, og det er også det som oftest blir gjengitt feil.

To effekter virker på en satellittklokke samtidig. Satellitten farer rundt jorda med omtrent 3 874 m/s, og fartseffekten du nettopp har utledet trekker klokken ned med rundt 7 mikrosekunder per døgn. Samtidig ligger satellitten rundt 20 000 km over bakken, der jordas gravitasjonsfelt er svakere. Generell relativitetsteori sier at klokker går raskere jo lenger unna massen de er, og det bidraget trekker opp med rundt 45 mikrosekunder per døgn.

Netto: 45 − 7 = 38 mikrosekunder per døgn raskere enn en klokke på bakken. Satellittklokkene er derfor stilt inn med en litt lavere frekvens før oppskyting, slik at de går riktig når de først er i bane.

Hvorfor gjør 38 mikrosekunder noe fra eller til? Fordi GPS måler avstand ved å gange lysfarten med en tidsdifferanse. 38 · 10⁻⁶ s · 3,00 · 10⁸ m/s ≈ 11 km. Etter ett døgn uten korreksjon ville altså avstandsleddet i regnestykket bomme med rundt elleve kilometer. Den faktiske posisjonsfeilen er en annen sak, siden mottakeren løser fire ligninger samtidig mot fire eller flere satellitter, og feilen i sluttposisjonen avhenger av hvordan feilene i de enkelte avstandene spiller sammen. Bruk de elleve kilometerne som en illustrasjon av størrelsesorden, ikke som en simulert posisjonsfeil.

Gravitasjonsbidraget forklares med generell relativitetsteori. Formelen vi har utledet her, beskriver fartsbidraget. De to effektene må holdes fra hverandre.

Fem vanlige feil – og hvordan du unngår dem

1. Bytte om t og t₀. Den vanligste av alle. Egentiden t₀ måles der de to hendelsene skjer på samme sted. Når v er større enn null og mindre enn c, er γ større enn 1, og t blir størst. Ved v = 0 er tidene like. Får du t mindre enn t₀, har du snudd formelen.

2. Glemme kvadratene. Uttrykket er 1 − v²/c². Ved v = 0,90c gir riktig regning γ = 2,294. Regner du 1 / √(1 − 0,90) får du 3,16, og dropper du rota også, 1 / (1 − 0,90), får du 10. Pass derfor på både kvadratene og kvadratrota.

3. Tro at det bare «ser slik ut». Tidsdilatasjon er en fysisk måling. Myonene som treffer bakken er der, og detektorer teller dem.

4. Bruke én fast γ på en tur der farten endrer seg. t = γt₀ med én verdi for γ gjelder for ett strekk med konstant relativ fart. Endrer farten seg, må du dele turen opp i strekk og regne hvert for seg, eller integrere. Merk at spesiell relativitetsteori godt kan behandle akselerert bevegelse; det er den uendrede lorentzfaktoren over hele turen som ikke holder. Generell relativitetsteori trenger du først når gravitasjon skal med.

5. Regne med v i km/t. Både v og c må ha samme enhet. Er farten oppgitt i km/t, del på 3,6 før du setter inn.

Ofte stilte spørsmål

Lær mer

Tidsdilatasjon er inngangsdøra til resten av spesiell relativitetsteori. Lengdekontraksjon, relativistisk bevegelsesmengde og E = mc² bygger alle på de samme to postulatene og den samme Lorentzfaktoren. Når du forstår lysklokken og forskjellen på t og t₀, har du et godt utgangspunkt for å lære mer. Videoundervisningen i Fysikk 2 på EnkelEksamen tar deg gjennom hele rekken med oppgaver og løsningsforslag.