Logg inn
Kuhn-Tuckers metode er absolutt noe du bør få kontroll på, dersom du skal ta eksamen i matematisk analyse dette semesteret. Her går vi gjennom hvordan du bruker metoden, steg for steg ☺️
Hva er Kuhn-Tuckers metode?
Kuhn-Tuckers metode er en metode for å finne maksimumspunkter og minimumspunkter til funksjoner under bibetingelser, hvor bibetingelsene er ulikheter.
Kuhn-Tuckers metode bygger på Lagranges metode, men den har én ekstra betingelse kalt komplementær slakkhet (complementary slackness).
Fremgangsmåte for Kuhn-Tuckers metode
1. Definisjon av problemet
maksimer/minimer f(x_1,x_2,\ldots,x_n) gitt
\begin{matrix}
g_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)\le b_1 \\
g_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)\le b_2 \\
\vdots \\
g_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)\le b_m
\end{matrix}
Funksjonen f\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right), er en funksjon av én eller flere variabler og kalles for ofte for målfunksjonen eller kriteriefunksjonen og er den funksjonen vi ønsker å finne maksimum eller minimum til.
Bibetingelsene er likninger eller ulikheter som må oppfylles i tillegg til målfunksjonen. Det kan være én eller flere slike bibetingelser. g\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right) er en funksjon av én eller flere variabler, som er mindre eller lik et konstant tall b.
2. Lag Lagrangefunksjonen
L\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=f\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)-\sum_{j=1}^m \lambda_j\left(g_j\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)-b_j\right)3. Betingelser for løsning av problemet
\begin{matrix} (1) & L_{x_i}^\prime\ (x_1,x_2,\ldots,x_n\ )=0 & for \space i=1,2,\ldots,n \\ \\ (2) & \lambda_j\geq0 & for \space j=1,2,\ldots,m \\ \\ (3) & g_j\ (x_1,x_2,\ldots,x_n\ )\le0 & for \space j=1,2,\ldots,m \\ \end{matrix}
Komplementær slakkhet
Betingelsen om komplementær slakkhet sier at det tilhørende paret j≥0 og g_j(x_1,x_2,…,x_n)\le0 ikke begge kan være gitt ved ulikheter samtidig. Det betyr at hvis lambda er gitt ved en ulikhet, er bibetingelsen gitt ved en likhet, og motsatt.
\begin{matrix} j\gt0 & \leftrightarrow & g_j(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0 & \leftrightarrow &Bibetingelse \space j \space er \space aktiv \\ j=0 & \leftrightarrow & g_j(x_1,x_2,\ldots,x_n)\lt0 & \leftrightarrow & Bibetingelse \space j \space er \space inaktiv \end{matrix}4. Løs likningssettet
Løs likningssettet fra steg 3. for x_1,x_2,\ldots,x_n og \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m. Du har da funnet stasjonære punkter som potensielt kan være maksimumspunkter eller minimumspunkter
5. Evaluer punktene
For å avgjøre hvilket punkt som er maksimumspunktet eller minimumspunktet må du sette alle punktene du fant i steg 4. inn i målfunksjonen f(x_1,x_2,\ldots,x_n). Det punktet som gir størst funksjonsverdi er maksimumspunktet og det punktet som gir lavest funksjonsverdi er minimumspunktet.
Nå håper jeg du har fått bedre kontroll på hvordan du bruker Kuhn-Tuckers metode 🤗
Lyst på en grundigere gjennomgang? Test vårt eksamenskurs gratis her👇🏻
Fortsett med Facebook