Synes du det kan være utfordrende å finne inversen til en matrise? Her skal vi ta deg gjennom hele prosessen 🤗

Hva er inversen av en matrise?

Inversen til en matrise brukes blant annet til å løse matriselikningen Ax=b, som lar deg løse store likningssystemer på en rask og enkel måte.

Skal du ta eksamen i Matematisk analyse dette semesteret? Her kan du teste du vårt eksamenskurs gratis 🙌🏻

Finnes det en invers?

Matrisen A, har en invers hvis matrisen er kvadratisk og determinanten er forskjellig fra 0, altså at \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}≠0. En kvadratisk matrise har like mange rader som kolonner. Før du prøver å finne ut hva inversen er, bør du finne ut om matrisen har en invers. Det er nemlig ikke alle matriser som har en slik invers, så her kan du spare deg for masse arbeid hvis du finner ut av dette først.

Invers til 2×2 matrise

La oss nå si at vi har funnet en determinant til matrisen A. Da må vi se på dimensjonen, altså størrelsen, til matrisen. Hvis den er en 2×2-matrise kan du bruke formelen her. Ellers vil den generelle fremgangsmåten i neste punkt gjelde for kvadratiske matriser av alle størrelser.

Den raskeste og enkleste metoden når du jobber med 2×2-matriser vil være å putte verdiene rett inn i denne formelen:

\begin{matrix} A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} & A^{-1}= \frac{1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \end{matrix}

Eksempel

\begin{matrix} A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} & A^{-1}= \frac{1}{1\cdot 2 - 2 \cdot 1} \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{18} \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/18 & -1/18 \\ -2/18 & 4/18 \end{bmatrix} \end{matrix}

Invers til alle kvadratiske matriser 

Teknikken vi skal gjennomgå kalles for Gauss-Jordan eliminasjonsmetode. Den er rask, og mye lettere å huske sammenliknet med andre teknikker. 

I denne metoden bruker vi at \begin{bmatrix}A | I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I |A^{-1} \end{bmatrix}. Det vil si at hvis du setter inn verdiene fra matrisen A, og identitetsmatrisen I, i én og samme matrise, så kan du redusere denne slik at du står igjen med identitetsmatrisen I til venstre og inversen A^{-1}, til høyre.

Eksempel

Setter inn verdiene fra matrisen A og identitetsmatrisen i én og samme matrise:


\begin{matrix} A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} & I= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix}A | I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{matrix}


Reduserer denne matrisen ved hjelp av reglene for Gauss-Jordan-eliminasjon, som er:

1) Gange en rad med et tall ulikt 0
2) Erstatte en rad med summen av denne raden og noen av de andre radene
3) Bytte plass på radene

2) \space R_3 - 2\cdot R_2 \rightarrow R_3 \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}

1) \space \frac{1}{2} \cdot R_2 \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}

2) \space R_1 -2\cdot R_2 \rightarrow R_1 \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}

Nå som vi har identitetsmatrisen til venstre står vi igjen med A^{-1} til høyre:

\begin{vmatrix}I | A^{-1} \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}

Løsning på matriselikningen

Vi har nå funnet inversen og kan bruke den til å løse matriselikningen Ax=b. Da bruker vi at: A^{-1}A=I, og ganger med A^{-1} på begge sider slik at vi står igjen med et uttrykk for x:

\begin{matrix} A^{-1}Ax=A^{-1}b & \rightarrow & Ix=A^{-1}b & \rightarrow & x=A^{-1}b \end{matrix}

Jeg håper du nå fikk en bedre forståelse av hvordan du finner inversen til en matrise 😉

Dersom du skal ta eksamen i Matematisk analyse dette semesteret, bør du også få kontroll på Kuhn-Tuckers metode. Her går vi gjennom metoden, steg for steg ✌🏻

Sjekk ut vårt eksamenskurs gratis, dersom du ønsker en grundigere gjennomgang👇🏻